Atrisiniet 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Atrast x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 4x^{2}+ax+bx-81. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 48.

$$a=-6 b=54$$

Pārrakstiet 4x^{2}+48x-81 kā \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Sadaliet 2x pirmo un 27 otrajā grupā.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x-3 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-3=0 un 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar 48 un c ar -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet 48 kvadrātā.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 2304 pie 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-48±60}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -48 pie 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{12}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-48±60}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 60 no -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-108}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Pieskaitiet 81 abās vienādojuma pusēs.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Atņemot -81 no sevis, paliek 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Atņemiet -81 no 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Daliet 48 ar 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu 12 ar 2, lai iegūtu 6. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 6 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Kāpiniet 6 kvadrātā.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Pieskaitiet \frac{81}{4} pie 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+12x+36. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Atņemiet 6 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$