Atrisiniet 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Atrast n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 11 no abām pusēm.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 4n^{2}+an+bn-11. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -7.

$$a=-11 b=4$$

Pārrakstiet 4n^{2}-7n-11 kā \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Iznesiet reizinātāju n pirms iekavām izteiksmē 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli 4n-11, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 4n-11=0 un n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4n^{2}-7n=11$$

Atņemiet 11 no vienādojuma abām pusēm.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Atņemot 11 no sevis, paliek 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar -7 un c ar -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet -7 kvadrātā.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 49 pie 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Skaitļa -7 pretstats ir 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{7±15}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 7 pie 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{22}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{7±15}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 15 no 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Daliet -8 ar 8.

$$n=-1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{7}{4} ar 2, lai iegūtu -\frac{7}{8}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{7}{8} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{7}{8}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Pieskaitiet \frac{11}{4} pie \frac{49}{64}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Sadaliet reizinātājos n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Vienkāršojiet.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Pieskaitiet \frac{7}{8} abās vienādojuma pusēs.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$