Atrisiniet 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Atrast x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4 ar x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Atņemiet 169 no 4, lai iegūtu -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 4x^{2}+ax+bx-165. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 8.

$$a=-22 b=30$$

Pārrakstiet 4x^{2}+8x-165 kā \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Sadaliet 2x pirmo un 15 otrajā grupā.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x-11 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-11=0 un 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4 ar x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Atņemiet 169 no 4, lai iegūtu -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar 8 un c ar -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet 8 kvadrātā.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 64 pie 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±52}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -8 pie 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{44}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±52}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 52 no -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-60}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4 ar x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Atņemiet 169 no 4, lai iegūtu -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Pievienot 165 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$4x^{2}+8x=165$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Daliet 8 ar 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu 2 ar 2, lai iegūtu 1. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 1 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Pieskaitiet \frac{165}{4} pie 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+2x+1. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$