Atrisiniet 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Atrast x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 120 no abām pusēm.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā x^{2}+ax+bx-30. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība, nekā tas ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 1.

$$a=-5 b=6$$

Pārrakstiet x^{2}+x-30 kā \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju x pirmajā grupā, bet 6 otrajā grupā.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x-5, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-5=0 un x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4x^{2}+4x=120$$

Atņemiet 120 no vienādojuma abām pusēm.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Atņemot 120 no sevis, paliek 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar 4 un c ar -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet 4 kvadrātā.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 16 pie 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4±44}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -4 pie 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Daliet 40 ar 8.

$$x=5$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4±44}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 44 no -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Daliet -48 ar 8.

$$x=-6$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=5 x=-6$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Daliet 4 ar 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Daliet 120 ar 4.

$$x^{2}+x=30$$

Daliet locekļa x koeficientu 1 ar 2, lai iegūtu \frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet 30 pie \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+x+\frac{1}{4}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Atņemiet \frac{1}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=5 x=-6$$