Atrisiniet 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Atrast t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 225 ar t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Atņemiet 225t^{2} no abām pusēm.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Atņemiet 4500t no abām pusēm.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Savelciet 30t un -4500t, lai iegūtu -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Atņemiet 22500 no abām pusēm.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -225, b ar -4470 un c ar -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Kāpiniet -4470 kvadrātā.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Reiziniet 900 reiz -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Pieskaitiet 19980900 pie -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Skaitļa -4470 pretstats ir 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 4470 pie 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Daliet 4470+30i\sqrt{299} ar -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 30i\sqrt{299} no 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Daliet 4470-30i\sqrt{299} ar -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 225 ar t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Atņemiet 225t^{2} no abām pusēm.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Atņemiet 4500t no abām pusēm.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Savelciet 30t un -4500t, lai iegūtu -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Daliet abas puses ar -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Dalīšana ar -225 atsauc reizināšanu ar -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-4470}{-225} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Daliet 22500 ar -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{298}{15} ar 2, lai iegūtu \frac{149}{15}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{149}{15} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{149}{15}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Pieskaitiet -100 pie \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Sadaliet reizinātājos t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Vienkāršojiet.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Atņemiet \frac{149}{15} no vienādojuma abām pusēm.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$