Atrisiniet 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Atrast b

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 15b^{2}+ab+bb-8. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -14.

$$a=-20 b=6$$

Pārrakstiet 15b^{2}-14b-8 kā \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Sadaliet 5b pirmo un 2 otrajā grupā.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3b-4 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3b-4=0 un 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 30, b ar -28 un c ar -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Kāpiniet -28 kvadrātā.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Reiziniet -4 reiz 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Reiziniet -120 reiz -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Pieskaitiet 784 pie 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

Skaitļa -28 pretstats ir 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Reiziniet 2 reiz 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu b=\frac{28±52}{60}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 28 pie 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Vienādot daļskaitli \frac{80}{60} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 20.

$$b=\frac{4}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu b=\frac{28±52}{60}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 52 no 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-24}{60} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 12.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Pieskaitiet 16 abās vienādojuma pusēs.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Atņemot -16 no sevis, paliek 0.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Atņemiet -16 no 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Daliet abas puses ar 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Dalīšana ar 30 atsauc reizināšanu ar 30.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-28}{30} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Vienādot daļskaitli \frac{16}{30} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{14}{15} ar 2, lai iegūtu -\frac{7}{15}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{7}{15} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{7}{15}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Pieskaitiet \frac{8}{15} pie \frac{49}{225}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Sadaliet reizinātājos b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Vienkāršojiet.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Pieskaitiet \frac{7}{15} abās vienādojuma pusēs.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$