Atrisiniet 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Atrast x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$3x-5y=4$$

Pieskaitiet 5y abās vienādojuma pusēs.

$$3x=5y+4$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Reiziniet \frac{1}{3} reiz 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ar \frac{5y+4}{3} aizvietojiet x otrā vienādojumā 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Reiziniet 9 reiz \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Pieskaitiet 15y pie -2y.

$$13y+12=7$$

Atņemiet 12 no vienādojuma abām pusēm.

$$13y=-5$$

Daliet abas puses ar 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Aizvietojiet y ar -\frac{5}{13} vienādojumā x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Reiziniet \frac{5}{3} ar -\frac{5}{13}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Pieskaitiet \frac{4}{3} pie -\frac{25}{39}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Lai vienādotu 3x un 9x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 9, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Vienkāršojiet.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Atņemiet 27x-6y=21 no 27x-45y=36 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Pieskaitiet 27x pie -27x. Locekļus 27x un -27x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-45y+6y=36-21$$

Pieskaitiet -45y pie 6y.

$$-39y=36-21$$

Pieskaitiet 36 pie -21.

$$-39y=15$$

Daliet abas puses ar -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Aizvietojiet y ar -\frac{5}{13} vienādojumā 9x-2y=7. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Reiziniet -2 reiz -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Atņemiet \frac{10}{13} no vienādojuma abām pusēm.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Daliet abas puses ar 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$