Atrisiniet 3x-2y=14text{and}2x+2y=6

$$3 x - 2 y = 14 \text { and } 2 x + 2 y = 6$$

Atrast x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$3x-2y=14$$

Pieskaitiet 2y abās vienādojuma pusēs.

$$3x=2y+14$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+14\right)$$

Reiziniet \frac{1}{3} reiz 14+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}$$

Ar \frac{14+2y}{3} aizvietojiet x otrā vienādojumā 2x+2y=6.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}\right)+2y=6$$

Reiziniet 2 reiz \frac{14+2y}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}+2y=6$$

Pieskaitiet \frac{4y}{3} pie 2y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=6$$

Atņemiet \frac{28}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{10}{3}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=-1$$

Aizvietojiet y ar -1 vienādojumā x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{14}{3}$$

Reiziniet \frac{2}{3} reiz -1.

$$x=\frac{-2+14}{3}$$

Pieskaitiet \frac{14}{3} pie -\frac{2}{3}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=4$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=4,y=-1$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{5}\times 6\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{3}{10}\times 6\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=4,y=-1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Lai vienādotu 3x un 2x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 2, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 14,3\times 2x+3\times 2y=3\times 6$$

Vienkāršojiet.

$$6x-4y=28,6x+6y=18$$

Atņemiet 6x+6y=18 no 6x-4y=28 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$6x-6x-4y-6y=28-18$$

Pieskaitiet 6x pie -6x. Locekļus 6x un -6x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-4y-6y=28-18$$

Pieskaitiet -4y pie -6y.

$$-10y=28-18$$

Pieskaitiet 28 pie -18.

$$-10y=10$$

Daliet abas puses ar -10.

$$y=-1$$

Aizvietojiet y ar -1 vienādojumā 2x+2y=6. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$2x+2\left(-1\right)=6$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$2x-2=6$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$2x=8$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=4$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=4,y=-1$$