Atrisiniet 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Atrast x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x ar x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Atņemiet 2x^{2} no abām pusēm.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Savelciet 3x un 10x, lai iegūtu 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -2x^{2}+ax+bx-15. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 13.

$$a=10 b=3$$

Pārrakstiet -2x^{2}+13x-15 kā \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Sadaliet 2x pirmo un -3 otrajā grupā.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju -x+5 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet -x+5=0 un 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x ar x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Atņemiet 2x^{2} no abām pusēm.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Savelciet 3x un 10x, lai iegūtu 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -2, b ar 13 un c ar -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kāpiniet 13 kvadrātā.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Reiziniet 8 reiz -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Pieskaitiet 169 pie -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-13±7}{-4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -13 pie 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-6}{-4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-13±7}{-4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 7 no -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Daliet -20 ar -4.

$$x=5$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x ar x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Atņemiet 2x^{2} no abām pusēm.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Savelciet 3x un 10x, lai iegūtu 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Pievienot 15 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$13x-2x^{2}=15$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Daliet abas puses ar -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Dalīšana ar -2 atsauc reizināšanu ar -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Daliet 13 ar -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Daliet 15 ar -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{13}{2} ar 2, lai iegūtu -\frac{13}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{13}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{13}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Pieskaitiet -\frac{15}{2} pie \frac{169}{16}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Pieskaitiet \frac{13}{4} abās vienādojuma pusēs.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$