Atrisiniet 3x^2-7x+2=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 2 = 0$$

Atrast x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=2$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 3x^{2}+ax+bx+2. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-7 ab=3\times 2=6$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -7.

$$a=-6 b=-1$$

Pārrakstiet 3x^{2}-7x+2 kā \left(3x^{2}-6x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(-x+2\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 3x pirmajā grupā, bet -1 otrajā grupā.

$$3x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x-2, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-2=0 un 3x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}-7x+2=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar -7 un c ar 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Kāpiniet -7 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 2}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 49 pie -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 25.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±5}{2\times 3}$$

Skaitļa -7 pretstats ir 7.

$$x=\frac{7±5}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{7±5}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{7±5}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 7 pie 5.

$$x=\frac{12}{6}$$

Daliet 12 ar 6.

$$x=2$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{7±5}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 5 no 7.

$$x=\frac{2}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+2=0$$

Atņemiet 2 no vienādojuma abām pusēm.

$$3x^{2}-7x+2-2=-2$$

Atņemot 2 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}-7x=-2$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{7}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{7}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{7}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{7}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{49}{36}$$

Pieskaitiet -\frac{2}{3} pie \frac{49}{36}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{25}{36}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{5}{6}$$

Pieskaitiet \frac{7}{6} abās vienādojuma pusēs.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$