Atrisiniet 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Atrast x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 3x^{2}+ax+bx+84. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -32.

$$a=-18 b=-14$$

Pārrakstiet 3x^{2}-32x+84 kā \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Sadaliet 3x pirmo un -14 otrajā grupā.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-6 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-6=0 un 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar -32 un c ar 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Kāpiniet -32 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 1024 pie -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Skaitļa -32 pretstats ir 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{32±4}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 32 pie 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Daliet 36 ar 6.

$$x=6$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{32±4}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4 no 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{28}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Atņemiet 84 no vienādojuma abām pusēm.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Atņemot 84 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Daliet -84 ar 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{32}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{16}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{16}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{16}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Pieskaitiet -28 pie \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Pieskaitiet \frac{16}{3} abās vienādojuma pusēs.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$