Atrisiniet 3x^2-3x=81

$$3 x ^ { 2 } - 3 x = 81$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 1}{2} \approx 5,720153254$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}\approx -4,720153254$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}-3x=81$$

Atņemiet 81 no vienādojuma abām pusēm.

$$3x^{2}-3x-81=81-81$$

Atņemot 81 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}-3x-81=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar -3 un c ar -81.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 3\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet -3 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 3\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-12\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -81.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+972}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 9 pie 972.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{981}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 981.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Skaitļa -3 pretstats ir 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 3 pie 3\sqrt{109}.

$$x=\frac{3\sqrt{109}+3}{6}$$

Daliet 3+3\sqrt{109} ar 6.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 3\sqrt{109} no 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{109}}{6}$$

Daliet 3-3\sqrt{109} ar 6.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-3x=81$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}-3x}{3}=\frac{81}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{3}\right)x=\frac{81}{3}$$

Daliet -3 ar 3.

$$x^{2}-x=\frac{81}{3}$$

Daliet 81 ar 3.

$$x^{2}-x=27$$

Daliet locekļa x koeficientu -1 ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=27+\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet 27 pie \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{109}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-x+\frac{1}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{109}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{109}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{109}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$