Atrisiniet 3x^2+x-2<0

$$3 x ^ { 2 } + x - 2 < 0$$

Atrast x

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$3x^{2}+x-2=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 3, b ar 1 un c ar -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{-1±5}{6}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{-1±5}{6}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\frac{2}{3} x=-1$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)<0$$

Lai reizinājums būtu negatīvs, vērtībām x-\frac{2}{3} un x+1 ir jābūt ar pretējām zīmēm. Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\frac{2}{3} ir pozitīva, bet vērtība x+1 ir negatīva.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+1<0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kur vērtība x+1 ir pozitīva, bet vērtība x-\frac{2}{3} ir negatīva.

$$x+1>0 x-\frac{2}{3}<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$