Atrisiniet 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Atrast x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 6y no abām pusēm.

$$3x+9-6y=0$$

Atņemiet 9 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$3x-6y=-9$$

Apsveriet otro vienādojumu. Pievienot 12 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$-2x-2y=12$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$3x-6y=-9$$

Pieskaitiet 6y abās vienādojuma pusēs.

$$3x=6y-9$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Reiziniet \frac{1}{3} reiz 6y-9.

$$x=2y-3$$

Ar 2y-3 aizvietojiet x otrā vienādojumā -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Reiziniet -2 reiz 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Pieskaitiet -4y pie -2y.

$$-6y+6=12$$

Atņemiet 6 no vienādojuma abām pusēm.

$$-6y=6$$

Daliet abas puses ar -6.

$$y=-1$$

Aizvietojiet y ar -1 vienādojumā x=2y-3. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=-2-3$$

Pieskaitiet -3 pie -2.

$$x=-5$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-5,y=-1$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 6y no abām pusēm.

$$3x+9-6y=0$$

Atņemiet 9 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$3x-6y=-9$$

Apsveriet otro vienādojumu. Pievienot 12 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$-2x-2y=12$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=-5,y=-1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 6y no abām pusēm.

$$3x+9-6y=0$$

Atņemiet 9 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$3x-6y=-9$$

Apsveriet otro vienādojumu. Pievienot 12 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$-2x-2y=12$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Lai vienādotu 3x un -2x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar -2, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Vienkāršojiet.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Atņemiet -6x-6y=36 no -6x+12y=18 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Pieskaitiet -6x pie 6x. Locekļus -6x un 6x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$12y+6y=18-36$$

Pieskaitiet 12y pie 6y.

$$18y=18-36$$

Pieskaitiet 18 pie -36.

$$18y=-18$$

Daliet abas puses ar 18.

$$y=-1$$

Aizvietojiet y ar -1 vienādojumā -2x-2y=12. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Reiziniet -2 reiz -1.

$$-2x+2=12$$

Atņemiet 2 no vienādojuma abām pusēm.

$$-2x=10$$

Daliet abas puses ar -2.

$$x=-5$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-5,y=-1$$