Atrisiniet 3x+7=x^2+1

$$3 x + 7 = x ^ { 2 } + 1$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{33} + 3}{2} \approx 4,372281323$$

$$x=\frac{3-\sqrt{33}}{2}\approx -1,372281323$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$3x+7-x^{2}=1$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$3x+7-x^{2}-1=0$$

Atņemiet 1 no 7, lai iegūtu 6.

$$3x+6-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+3x+6=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 3 un c ar 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 3 kvadrātā.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 9 pie 24.

$$x=\frac{-3±\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{33}}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-3±\sqrt{33}}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -3 pie \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{-2}$$

Daliet -3+\sqrt{33} ar -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{33}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-3±\sqrt{33}}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{33} no -3.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-3}{-2}$$

Daliet -3-\sqrt{33} ar -2.

$$x=\frac{\sqrt{33}+3}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{3-\sqrt{33}}{2} x=\frac{\sqrt{33}+3}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$3x+7-x^{2}=1$$

Atņemiet 7 no abām pusēm.

$$3x-x^{2}=1-7$$

Atņemiet 7 no 1, lai iegūtu -6.

$$3x-x^{2}=-6$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-6$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{6}{-1}$$

Daliet 3 ar -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{6}{-1}$$

Daliet -6 ar -1.

$$x^{2}-3x=6$$

Daliet locekļa x koeficientu -3 ar 2, lai iegūtu -\frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=6+\frac{9}{4}$$

Pieskaitiet 6 pie \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{33}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{3}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{33}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{33}}{2}$$