Atrisiniet 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Atrast x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$3x+5y=8$$

Atņemiet 5y no vienādojuma abām pusēm.

$$3x=-5y+8$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Reiziniet \frac{1}{3} reiz -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Ar \frac{-5y+8}{3} aizvietojiet x otrā vienādojumā x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Pieskaitiet -\frac{5y}{3} pie -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Atņemiet \frac{8}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar -\frac{11}{3}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Pieskaitiet \frac{8}{3} pie -\frac{5}{3}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=1,y=1$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=1,y=1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Lai vienādotu 3x un x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Vienkāršojiet.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Atņemiet 3x-6y=-3 no 3x+5y=8 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Pieskaitiet 3x pie -3x. Locekļus 3x un -3x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$5y+6y=8+3$$

Pieskaitiet 5y pie 6y.

$$11y=8+3$$

Pieskaitiet 8 pie 3.

$$11y=11$$

Daliet abas puses ar 11.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā x-2y=-1. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x-2=-1$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$x=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=1,y=1$$