Atrisiniet 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Atrast x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Atņemiet 1 no 5, lai iegūtu 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -x^{2}+ax+bx+4. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -4.

$$-1,4 -2,2$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 3.

$$a=4 b=-1$$

Pārrakstiet -x^{2}+3x+4 kā \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Sadaliet -x pirmo un -1 otrajā grupā.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-4 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-4=0 un -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Atņemiet 1 no 5, lai iegūtu 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 3 un c ar 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 3 kvadrātā.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 9 pie 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-3±5}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -3 pie 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Daliet 2 ar -2.

$$x=-1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-3±5}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 5 no -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Daliet -8 ar -2.

$$x=4$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-1 x=4$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Atņemiet 5 no abām pusēm.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Atņemiet 5 no 1, lai iegūtu -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Daliet 3 ar -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Daliet -4 ar -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Daliet locekļa x koeficientu -3 ar 2, lai iegūtu -\frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Pieskaitiet 4 pie \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Pieskaitiet \frac{3}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=4 x=-1$$