Atrisiniet 3x+3y=24text{and}y=x+4

$$3 x + 3 y = 24 \text { and } y = x + 4$$

Atrast x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet otro vienādojumu. Atņemiet x no abām pusēm.

$$y-x=4$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$3x+3y=24$$

Atņemiet 3y no vienādojuma abām pusēm.

$$3x=-3y+24$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+24\right)$$

Reiziniet \frac{1}{3} reiz -3y+24.

$$x=-y+8$$

Ar -y+8 aizvietojiet x otrā vienādojumā -x+y=4.

$$-\left(-y+8\right)+y=4$$

Reiziniet -1 reiz -y+8.

$$y-8+y=4$$

Pieskaitiet y pie y.

$$2y-8=4$$

Pieskaitiet 8 abās vienādojuma pusēs.

$$2y=12$$

Daliet abas puses ar 2.

$$y=6$$

Aizvietojiet y ar 6 vienādojumā x=-y+8. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-6+8$$

Pieskaitiet 8 pie -6.

$$x=2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=2,y=6$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet otro vienādojumu. Atņemiet x no abām pusēm.

$$y-x=4$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{6}\times 24+\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=2,y=6$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet otro vienādojumu. Atņemiet x no abām pusēm.

$$y-x=4$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

Lai vienādotu 3x un -x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar -1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 3.

$$-3x-3y=-24,3\left(-1\right)x+3y=3\times 4$$

Vienkāršojiet.

$$-3x-3y=-24,-3x+3y=12$$

Atņemiet -3x+3y=12 no -3x-3y=-24 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$-3x+3x-3y-3y=-24-12$$

Pieskaitiet -3x pie 3x. Locekļus -3x un 3x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-3y-3y=-24-12$$

Pieskaitiet -3y pie -3y.

$$-6y=-24-12$$

Pieskaitiet -24 pie -12.

$$-6y=-36$$

Daliet abas puses ar -6.

$$y=6$$

Aizvietojiet y ar 6 vienādojumā -x+y=4. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$-x+6=4$$

Atņemiet 6 no vienādojuma abām pusēm.

$$-x=-2$$

Daliet abas puses ar -1.

$$x=2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=2,y=6$$