Atrisiniet 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Atrast x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$3x+2y=8$$

Atņemiet 2y no vienādojuma abām pusēm.

$$3x=-2y+8$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Reiziniet \frac{1}{3} reiz -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Ar \frac{-2y+8}{3} aizvietojiet x otrā vienādojumā 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Reiziniet 5 reiz \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Pieskaitiet -\frac{10y}{3} pie -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Atņemiet \frac{40}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar -\frac{22}{3}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Pieskaitiet \frac{8}{3} pie -\frac{2}{3}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=2,y=1$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=2,y=1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Lai vienādotu 3x un 5x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 5, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Vienkāršojiet.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Atņemiet 15x-12y=18 no 15x+10y=40 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Pieskaitiet 15x pie -15x. Locekļus 15x un -15x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$10y+12y=40-18$$

Pieskaitiet 10y pie 12y.

$$22y=40-18$$

Pieskaitiet 40 pie -18.

$$22y=22$$

Daliet abas puses ar 22.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā 5x-4y=6. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$5x-4=6$$

Pieskaitiet 4 abās vienādojuma pusēs.

$$5x=10$$

Daliet abas puses ar 5.

$$x=2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=2,y=1$$