Atrisiniet 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Atrast n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Atņemiet 5 no vienādojuma abām pusēm.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Atņemot 5 no sevis, paliek 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Atņemiet 5 no -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 47 un c ar -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 47 kvadrātā.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 2209 pie 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -47 pie \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{5053} no -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Pieskaitiet 232 abās vienādojuma pusēs.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Atņemot -232 no sevis, paliek 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Atņemiet -232 no 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Daliet 237 ar 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{47}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{47}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{47}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{47}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Pieskaitiet 79 pie \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Sadaliet reizinātājos n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Atņemiet \frac{47}{6} no vienādojuma abām pusēm.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$