Atrisiniet 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Atrast x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 3x^{2}+ax+bx-372. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -5.

$$a=-36 b=31$$

Pārrakstiet 3x^{2}-5x-372 kā \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 3x pirmajā grupā, bet 31 otrajā grupā.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x-12, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-12=0 un 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar -5 un c ar -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet -5 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 25 pie 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Skaitļa -5 pretstats ir 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{5±67}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 5 pie 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Daliet 72 ar 6.

$$x=12$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{5±67}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 67 no 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-62}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Pieskaitiet 372 abās vienādojuma pusēs.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Atņemot -372 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Atņemiet -372 no 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Daliet 372 ar 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{5}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Pieskaitiet 124 pie \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Pieskaitiet \frac{5}{6} abās vienādojuma pusēs.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$