Atrisiniet 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Atrast x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 3x^{2}+ax+bx-60. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -31.

$$a=-36 b=5$$

Pārrakstiet 3x^{2}-31x-60 kā \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Sadaliet 3x pirmo un 5 otrajā grupā.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-12 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-12=0 un 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar -31 un c ar -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet -31 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 961 pie 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Skaitļa -31 pretstats ir 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{31±41}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 31 pie 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Daliet 72 ar 6.

$$x=12$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{31±41}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 41 no 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-10}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Pieskaitiet 60 abās vienādojuma pusēs.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Atņemot -60 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Atņemiet -60 no 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Daliet 60 ar 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{31}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{31}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{31}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{31}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Pieskaitiet 20 pie \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Pieskaitiet \frac{31}{6} abās vienādojuma pusēs.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$