Atrisiniet 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Atrast x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 138 no abām pusēm.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 3x^{2}+ax+bx-138. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība, nekā tas ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 5.

$$a=-18 b=23$$

Pārrakstiet 3x^{2}+5x-138 kā \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 3x pirmajā grupā, bet 23 otrajā grupā.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x-6, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-6=0 un 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}+5x=138$$

Atņemiet 138 no vienādojuma abām pusēm.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Atņemot 138 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 5 un c ar -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 5 kvadrātā.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 25 pie 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-5±41}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -5 pie 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Daliet 36 ar 6.

$$x=6$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-5±41}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 41 no -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-46}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Daliet 138 ar 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{5}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{5}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{5}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{5}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Pieskaitiet 46 pie \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Atņemiet \frac{5}{6} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$