Atrisiniet 3x^2+2x+15=9

$$3 { x }^{ 2 } +2x+15=9$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}\approx -0,333333333+1,374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}\approx -0,333333333-1,374368542i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Atņemiet 9 no vienādojuma abām pusēm.

$$3x^{2}+2x+15-9=9-9$$

Atņemot 9 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}+2x+15-9=0$$

Atņemiet 9 no 15.

$$3x^{2}+2x+6=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 2 un c ar 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 2 kvadrātā.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 6}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 4 pie -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -2 pie 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{6}$$

Daliet -2+2i\sqrt{17} ar 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2i\sqrt{17} no -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{6}$$

Daliet -2-2i\sqrt{17} ar 6.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Atņemiet 15 no vienādojuma abām pusēm.

$$3x^{2}+2x+15-15=9-15$$

Atņemot 15 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}+2x=9-15$$

Atņemiet 15 no 9.

$$3x^{2}+2x=-6$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Daliet -6 ar 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-2$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{2}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{1}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-2+\frac{1}{9}$$

Pieskaitiet -2 pie \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{17}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

Atņemiet \frac{1}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$