Atrisiniet 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Pieskaitiet 24 abās vienādojuma pusēs.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Atņemot -24 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Atņemiet -24 no 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 11 un c ar 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 11 kvadrātā.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 121 pie -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -11 pie i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet i\sqrt{167} no -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Daliet -24 ar 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{11}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{11}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{11}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{11}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Pieskaitiet -8 pie \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Atņemiet \frac{11}{6} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$