Atrisiniet 3r^2-10r+3=0

$$3 { r }^{ 2 } -10r+3 = 0$$

Atrast r

$$r=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$r=3$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 3r^{2}+ar+br+3. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-10 ab=3\times 3=9$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -10.

$$a=-9 b=-1$$

Pārrakstiet 3r^{2}-10r+3 kā \left(3r^{2}-9r\right)+\left(-r+3\right).

$$\left(3r^{2}-9r\right)+\left(-r+3\right)$$

Sadaliet 3r pirmo un -1 otrajā grupā.

$$3r\left(r-3\right)-\left(r-3\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju r-3 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(r-3\right)\left(3r-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet r-3=0 un 3r-1=0.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3r^{2}-10r+3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar -10 un c ar 3.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Kāpiniet -10 kvadrātā.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\times 3}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz 3.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 100 pie -36.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 64.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±8}{2\times 3}$$

Skaitļa -10 pretstats ir 10.

$$r=\frac{10±8}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$r=\frac{10±8}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu r=\frac{10±8}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 10 pie 8.

$$r=\frac{18}{6}$$

Daliet 18 ar 6.

$$r=3$$

Tagad atrisiniet vienādojumu r=\frac{10±8}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 8 no 10.

$$r=\frac{2}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$r=\frac{1}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-10r+3=0$$

Atņemiet 3 no vienādojuma abām pusēm.

$$3r^{2}-10r+3-3=-3$$

Atņemot 3 no sevis, paliek 0.

$$3r^{2}-10r=-3$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3r^{2}-10r}{3}=-\frac{3}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r=-\frac{3}{3}$$

Daliet -3 ar 3.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r=-1$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{10}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9}=-1+\frac{25}{9}$$

Pieskaitiet -1 pie \frac{25}{9}.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9}=\frac{16}{9}$$

Sadaliet reizinātājos r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(r-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$r-\frac{5}{3}=\frac{4}{3} r-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}$$

Pieskaitiet \frac{5}{3} abās vienādojuma pusēs.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$