Atrisiniet 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Atņemiet 4x no abām pusēm.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Savelciet 2x un -4x, lai iegūtu -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Atņemiet 5 no abām pusēm.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Atņemiet 5 no 1, lai iegūtu -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -4, b ar -2 un c ar -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kāpiniet -2 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 16 reiz -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Pieskaitiet 4 pie -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Skaitļa -2 pretstats ir 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 2 pie 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Daliet 2+2i\sqrt{15} ar -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2i\sqrt{15} no 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Daliet 2-2i\sqrt{15} ar -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Atņemiet 4x no abām pusēm.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Savelciet 2x un -4x, lai iegūtu -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Atņemiet 1 no 5, lai iegūtu 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Daliet abas puses ar -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Dalīšana ar -4 atsauc reizināšanu ar -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-2}{-4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Daliet 4 ar -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{1}{2} ar 2, lai iegūtu \frac{1}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Pieskaitiet -1 pie \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Atņemiet \frac{1}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$