Atrisiniet 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0,137931034+0,471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0,137931034-0,471544632i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 29, b ar 8 un c ar 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Kāpiniet 8 kvadrātā.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Reiziniet -4 reiz 29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

Reiziniet -116 reiz 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

Pieskaitiet 64 pie -812.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -748.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

Reiziniet 2 reiz 29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -8 pie 2i\sqrt{187}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

Daliet -8+2i\sqrt{187} ar 58.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2i\sqrt{187} no -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

Daliet -8-2i\sqrt{187} ar 58.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Atņemiet 7 no vienādojuma abām pusēm.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

Atņemot 7 no sevis, paliek 0.

$$29x^{2}+8x=-7$$

Daliet abas puses ar 29.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

Dalīšana ar 29 atsauc reizināšanu ar 29.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{8}{29} ar 2, lai iegūtu \frac{4}{29}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{4}{29} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{4}{29}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

Pieskaitiet -\frac{7}{29} pie \frac{16}{841}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

Atņemiet \frac{4}{29} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$