Atrisiniet 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 27, b ar 33 un c ar -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Kāpiniet 33 kvadrātā.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Reiziniet -4 reiz 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Reiziniet -108 reiz -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Pieskaitiet 1089 pie 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Reiziniet 2 reiz 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -33 pie 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Daliet -33+3\sqrt{1561} ar 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 3\sqrt{1561} no -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Daliet -33-3\sqrt{1561} ar 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Pieskaitiet 120 abās vienādojuma pusēs.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Atņemot -120 no sevis, paliek 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Atņemiet -120 no 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Daliet abas puses ar 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Dalīšana ar 27 atsauc reizināšanu ar 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Vienādot daļskaitli \frac{33}{27} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Vienādot daļskaitli \frac{120}{27} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{11}{9} ar 2, lai iegūtu \frac{11}{18}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{11}{18} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{11}{18}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Pieskaitiet \frac{40}{9} pie \frac{121}{324}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Atņemiet \frac{11}{18} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$