Atrisiniet 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 25, b ar -90 un c ar 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Kāpiniet -90 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Reiziniet -4 reiz 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Reiziniet -100 reiz 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Pieskaitiet 8100 pie -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

Skaitļa -90 pretstats ir 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Reiziniet 2 reiz 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{90±10i}{50}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 90 pie 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Daliet 90+10i ar 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{90±10i}{50}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 10i no 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Daliet 90-10i ar 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Atņemiet 82 no vienādojuma abām pusēm.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

Atņemot 82 no sevis, paliek 0.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Daliet abas puses ar 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

Dalīšana ar 25 atsauc reizināšanu ar 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-90}{25} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{18}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{9}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{9}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{9}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Pieskaitiet -\frac{82}{25} pie \frac{81}{25}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Pieskaitiet \frac{9}{5} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$