Atrisiniet 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Atrast x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 25x^{2}+ax+bx+16. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -40.

$$a=-20 b=-20$$

Pārrakstiet 25x^{2}-40x+16 kā \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 5x pirmajā grupā, bet -4 otrajā grupā.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli 5x-4, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Pārveidojiet par binoma kvadrātu.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Lai atrisinātu vienādojumu, atrisiniet 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 25, b ar -40 un c ar 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Kāpiniet -40 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Reiziniet -4 reiz 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Reiziniet -100 reiz 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Pieskaitiet 1600 pie -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Skaitļa -40 pretstats ir 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Reiziniet 2 reiz 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Vienādot daļskaitli \frac{40}{50} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Atņemiet 16 no vienādojuma abām pusēm.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Atņemot 16 no sevis, paliek 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Daliet abas puses ar 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Dalīšana ar 25 atsauc reizināšanu ar 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-40}{25} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{8}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{4}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{4}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{4}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Pieskaitiet -\frac{16}{25} pie \frac{16}{25}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Pieskaitiet \frac{4}{5} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts. Risinājumi ir tie paši.

$$x=\frac{4}{5}$$