Atrisiniet 25x^2+30x=12

$$25 { x }^{ 2 } +30x=12$$

Atrast x

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}\approx 0,316515139$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}\approx -1,516515139$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$25x^{2}+30x=12$$

Atņemiet 12 no vienādojuma abām pusēm.

$$25x^{2}+30x-12=12-12$$

Atņemot 12 no sevis, paliek 0.

$$25x^{2}+30x-12=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 25, b ar 30 un c ar -12.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Kāpiniet 30 kvadrātā.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Reiziniet -4 reiz 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Reiziniet -100 reiz -12.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}$$

Pieskaitiet 900 pie 1200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2100.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}$$

Reiziniet 2 reiz 25.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -30 pie 10\sqrt{21}.

$$x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}$$

Daliet -30+10\sqrt{21} ar 50.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 10\sqrt{21} no -30.

$$x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}$$

Daliet -30-10\sqrt{21} ar 50.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x=12$$

Daliet abas puses ar 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}$$

Dalīšana ar 25 atsauc reizināšanu ar 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}$$

Vienādot daļskaitli \frac{30}{25} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{6}{5} ar 2, lai iegūtu \frac{3}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}$$

Pieskaitiet \frac{12}{25} pie \frac{9}{25}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

Atņemiet \frac{3}{5} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$