Atrisiniet 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Atrast x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 24x^{2}+ax+bx+21. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -65.

$$a=-56 b=-9$$

Pārrakstiet 24x^{2}-65x+21 kā \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Sadaliet 8x pirmo un -3 otrajā grupā.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x-7 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3x-7=0 un 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 24, b ar -65 un c ar 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Kāpiniet -65 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Reiziniet -4 reiz 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Reiziniet -96 reiz 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Pieskaitiet 4225 pie -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Skaitļa -65 pretstats ir 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Reiziniet 2 reiz 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{65±47}{48}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 65 pie 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Vienādot daļskaitli \frac{112}{48} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{65±47}{48}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 47 no 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Vienādot daļskaitli \frac{18}{48} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Atņemiet 21 no vienādojuma abām pusēm.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Atņemot 21 no sevis, paliek 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Daliet abas puses ar 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Dalīšana ar 24 atsauc reizināšanu ar 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-21}{24} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{65}{24} ar 2, lai iegūtu -\frac{65}{48}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{65}{48} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{65}{48}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Pieskaitiet -\frac{7}{8} pie \frac{4225}{2304}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Pieskaitiet \frac{65}{48} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$