Atrisiniet 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Atrast x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 8x^{2}+ax+bx-1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -8.

$$-1,8 -2,4$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 2.

$$a=-2 b=4$$

Pārrakstiet 8x^{2}+2x-1 kā \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Iznesiet reizinātāju 2x pirms iekavām izteiksmē 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 4x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 4x-1=0 un 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 24, b ar 6 un c ar -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Kāpiniet 6 kvadrātā.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Reiziniet -4 reiz 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Reiziniet -96 reiz -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Pieskaitiet 36 pie 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Reiziniet 2 reiz 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-6±18}{48}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -6 pie 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Vienādot daļskaitli \frac{12}{48} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-6±18}{48}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 18 no -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-24}{48} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Pieskaitiet 3 abās vienādojuma pusēs.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Atņemot -3 no sevis, paliek 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Atņemiet -3 no 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Daliet abas puses ar 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Dalīšana ar 24 atsauc reizināšanu ar 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Vienādot daļskaitli \frac{6}{24} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Vienādot daļskaitli \frac{3}{24} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{1}{4} ar 2, lai iegūtu \frac{1}{8}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{8} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{8}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Pieskaitiet \frac{1}{8} pie \frac{1}{64}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Atņemiet \frac{1}{8} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$