Atrisiniet 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Atrast k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 12k^{2}+ak+bk+12. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 25.

$$a=9 b=16$$

Pārrakstiet 12k^{2}+25k+12 kā \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Sadaliet 3k pirmo un 4 otrajā grupā.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 4k+3 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 4k+3=0 un 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 24, b ar 50 un c ar 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Kāpiniet 50 kvadrātā.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Reiziniet -4 reiz 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Reiziniet -96 reiz 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Pieskaitiet 2500 pie -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Reiziniet 2 reiz 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu k=\frac{-50±14}{48}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -50 pie 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-36}{48} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu k=\frac{-50±14}{48}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 14 no -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-64}{48} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Atņemiet 24 no vienādojuma abām pusēm.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Atņemot 24 no sevis, paliek 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Daliet abas puses ar 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Dalīšana ar 24 atsauc reizināšanu ar 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Vienādot daļskaitli \frac{50}{24} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Daliet -24 ar 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{25}{12} ar 2, lai iegūtu \frac{25}{24}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{25}{24} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{25}{24}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Pieskaitiet -1 pie \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Sadaliet reizinātājos k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Vienkāršojiet.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Atņemiet \frac{25}{24} no vienādojuma abām pusēm.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$