Atrisiniet 20x+2x^2=150

$$20x+2 { x }^{ 2 } =150$$

Atrast x

$$x=-15$$

$$x=5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 150 no abām pusēm.

$$20x+2x^{2}-150=0$$

Daliet abas puses ar 2.

$$10x+x^{2}-75=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$x^{2}+10x-75=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-75. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=10 ab=1\left(-75\right)=-75$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -75.

$$-1,75 -3,25 -5,15$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+75=74 -3+25=22 -5+15=10$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 10.

$$a=-5 b=15$$

Pārrakstiet x^{2}+10x-75 kā \left(x^{2}-5x\right)+\left(15x-75\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(15x-75\right)$$

Sadaliet x pirmo un 15 otrajā grupā.

$$x\left(x-5\right)+15\left(x-5\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-5 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-5\right)\left(x+15\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-5=0 un x+15=0.

$$x=5 x=-15$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$2x^{2}+20x=150$$

Atņemiet 150 no vienādojuma abām pusēm.

$$2x^{2}+20x-150=150-150$$

Atņemot 150 no sevis, paliek 0.

$$2x^{2}+20x-150=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar 20 un c ar -150.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 2\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

Kāpiniet 20 kvadrātā.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 2\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-8\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz -150.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+1200}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 400 pie 1200.

$$x=\frac{-20±\sqrt{1600}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1600.

$$x=\frac{-20±40}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{-20±40}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-20±40}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -20 pie 40.

$$x=\frac{20}{4}$$

Daliet 20 ar 4.

$$x=5$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-20±40}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 40 no -20.

$$x=-\frac{60}{4}$$

Daliet -60 ar 4.

$$x=-15$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=5 x=-15$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+20x=150$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}+20x}{2}=\frac{150}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\frac{20}{2}x=\frac{150}{2}$$

Daliet 20 ar 2.

$$x^{2}+10x=\frac{150}{2}$$

Daliet 150 ar 2.

$$x^{2}+10x=75$$

Daliet locekļa x koeficientu 10 ar 2, lai iegūtu 5. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 5 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+10x+5^{2}=75+5^{2}$$

Kāpiniet 5 kvadrātā.

$$x^{2}+10x+25=75+25$$

Pieskaitiet 75 pie 25.

$$x^{2}+10x+25=100$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+10x+25. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=100$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Vienkāršojiet.

$$x+5=10 x+5=-10$$

Atņemiet 5 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=5 x=-15$$