Atrisiniet 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Atrast x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 20, b ar -28 un c ar -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kāpiniet -28 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Reiziniet -4 reiz 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Reiziniet -80 reiz -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Pieskaitiet 784 pie 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Skaitļa -28 pretstats ir 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Reiziniet 2 reiz 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 28 pie 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Daliet 28+12\sqrt{6} ar 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 12\sqrt{6} no 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Daliet 28-12\sqrt{6} ar 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Pieskaitiet 1 abās vienādojuma pusēs.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Atņemot -1 no sevis, paliek 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Atņemiet -1 no 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Daliet abas puses ar 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Dalīšana ar 20 atsauc reizināšanu ar 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-28}{20} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{7}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{7}{10}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{7}{10} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{7}{10}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Pieskaitiet \frac{1}{20} pie \frac{49}{100}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Pieskaitiet \frac{7}{10} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$