Atrisiniet 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 25 ar 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 7 ar 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 35-7x ar 5+x un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Saskaitiet 400 un 175, lai iegūtu 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Savelciet 25x^{2} un -7x^{2}, lai iegūtu 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Atņemiet 295 no abām pusēm.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Atņemiet 295 no 575, lai iegūtu 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Pievienot 45x^{2} abās pusēs.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Savelciet 18x^{2} un 45x^{2}, lai iegūtu 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 63, b ar 200 un c ar 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Kāpiniet 200 kvadrātā.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Reiziniet -4 reiz 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Reiziniet -252 reiz 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Pieskaitiet 40000 pie -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Reiziniet 2 reiz 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -200 pie 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Daliet -200+4i\sqrt{1910} ar 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4i\sqrt{1910} no -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Daliet -200-4i\sqrt{1910} ar 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 25 ar 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 7 ar 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 35-7x ar 5+x un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Saskaitiet 400 un 175, lai iegūtu 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Savelciet 25x^{2} un -7x^{2}, lai iegūtu 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Pievienot 45x^{2} abās pusēs.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Savelciet 18x^{2} un 45x^{2}, lai iegūtu 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Atņemiet 575 no abām pusēm.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Atņemiet 575 no 295, lai iegūtu -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Daliet abas puses ar 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Dalīšana ar 63 atsauc reizināšanu ar 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-280}{63} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{200}{63} ar 2, lai iegūtu \frac{100}{63}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{100}{63} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{100}{63}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Pieskaitiet -\frac{40}{9} pie \frac{10000}{3969}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Atņemiet \frac{100}{63} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$