Atrisiniet 2y^2+1/5-y=3(1/5-y)^2-2

$$2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } - y = 3 ( \frac { 1 } { 5 } - y ) ^ { 2 } - 2$$

Atrast y

$$y = \frac{\sqrt{209} + 1}{10} \approx 1,545683229$$

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}\approx -1,345683229$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 3 ar \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

Atņemiet 2 no \frac{3}{25}, lai iegūtu -\frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Atņemiet -\frac{47}{25} no abām pusēm.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y-\left(-\frac{47}{25}\right)=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Skaitļa -\frac{47}{25} pretstats ir \frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Pievienot \frac{6}{5}y abās pusēs.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

Saskaitiet \frac{1}{5} un \frac{47}{25}, lai iegūtu \frac{52}{25}.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}-y+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

Savelciet -y un \frac{6}{5}y, lai iegūtu \frac{1}{5}y.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=3y^{2}$$

Atņemiet 3y^{2} no abām pusēm.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=0$$

Savelciet 2y^{2} un -3y^{2}, lai iegūtu -y^{2}.

$$-y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y+\frac{52}{25}=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar \frac{1}{5} un c ar \frac{52}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}+4\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz \frac{52}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1+208}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet \frac{1}{25} pie \frac{208}{25}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{209}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no \frac{209}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -\frac{1}{5} pie \frac{\sqrt{209}}{5}.

$$y=\frac{\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

Daliet \frac{-1+\sqrt{209}}{5} ar -2.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \frac{\sqrt{209}}{5} no -\frac{1}{5}.

$$y=\frac{-\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

Daliet \frac{-1-\sqrt{209}}{5} ar -2.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10} y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 3 ar \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

Atņemiet 2 no \frac{3}{25}, lai iegūtu -\frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Pievienot \frac{6}{5}y abās pusēs.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{6}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

Savelciet -y un \frac{6}{5}y, lai iegūtu \frac{1}{5}y.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

Atņemiet 3y^{2} no abām pusēm.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=-\frac{47}{25}$$

Savelciet 2y^{2} un -3y^{2}, lai iegūtu -y^{2}.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}$$

Atņemiet \frac{1}{5} no abām pusēm.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}-\frac{1}{5}$$

Atņemiet \frac{1}{5} no -\frac{47}{25}, lai iegūtu -\frac{52}{25}.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{52}{25}$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-y^{2}+\frac{1}{5}y}{-1}=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$y^{2}+\frac{\frac{1}{5}}{-1}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Daliet \frac{1}{5} ar -1.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Daliet -\frac{52}{25} ar -1.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=\frac{52}{25}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{1}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{10}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{10} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{52}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{10}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{52}{25}+\frac{1}{100}$$

Pieskaitiet \frac{52}{25} pie \frac{1}{100}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{209}{100}$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

Vienkāršojiet.

$$y-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} y-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

Pieskaitiet \frac{1}{10} abās vienādojuma pusēs.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10} y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$