Atrisiniet 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Atrast x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$2x-3y=-2$$

Pieskaitiet 3y abās vienādojuma pusēs.

$$2x=3y-2$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Reiziniet \frac{1}{2} reiz 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Ar \frac{3y}{2}-1 aizvietojiet x otrā vienādojumā 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Reiziniet 4 reiz \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Pieskaitiet 6y pie y.

$$7y-4=2A$$

Pieskaitiet 4 abās vienādojuma pusēs.

$$7y=2A+4$$

Daliet abas puses ar 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Aizvietojiet y ar \frac{4+2A}{7} vienādojumā x=\frac{3}{2}y-1. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Reiziniet \frac{3}{2} reiz \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Pieskaitiet -1 pie \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Lai vienādotu 2x un 4x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 4, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Vienkāršojiet.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Atņemiet 8x+2y=4A no 8x-12y=-8 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Pieskaitiet 8x pie -8x. Locekļus 8x un -8x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Pieskaitiet -12y pie -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Pieskaitiet -8 pie -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Daliet abas puses ar -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Aizvietojiet y ar \frac{4+2A}{7} vienādojumā 4x+y=2A. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Atņemiet \frac{4+2A}{7} no vienādojuma abām pusēm.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$