Atrisiniet 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Atrast x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$2x-3y+10=0$$

Atņemiet 10 no vienādojuma abām pusēm.

$$2x-3y=-10$$

Pieskaitiet 3y abās vienādojuma pusēs.

$$2x=3y-10$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Reiziniet \frac{1}{2} reiz 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Ar \frac{3y}{2}-5 aizvietojiet x otrā vienādojumā 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Reiziniet 5 reiz \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Pieskaitiet \frac{15y}{2} pie -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Pieskaitiet -25 pie 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Pieskaitiet 21 abās vienādojuma pusēs.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{13}{2}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=\frac{42}{13}$$

Aizvietojiet y ar \frac{42}{13} vienādojumā x=\frac{3}{2}y-5. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Reiziniet \frac{3}{2} ar \frac{42}{13}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Pieskaitiet -5 pie \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Lai vienādotu 2x un 5x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 5, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Vienkāršojiet.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Atņemiet 10x-2y+8=0 no 10x-15y+50=0 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Pieskaitiet 10x pie -10x. Locekļus 10x un -10x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Pieskaitiet -15y pie 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Pieskaitiet 50 pie -8.

$$-13y+42=0$$

Atņemiet 42 no vienādojuma abām pusēm.

$$-13y=-42$$

Daliet abas puses ar -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Aizvietojiet y ar \frac{42}{13} vienādojumā 5x-y+4=0. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Pieskaitiet -\frac{42}{13} pie 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Atņemiet \frac{10}{13} no vienādojuma abām pusēm.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Daliet abas puses ar 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$