Atrisiniet 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Atrast x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 2, b ar -1 un c ar -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{1±3}{4}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

Lai reizinājums būtu negatīvs, vērtībām x-1 un x+\frac{1}{2} ir jābūt ar pretējām zīmēm. Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-1 ir pozitīva, bet vērtība x+\frac{1}{2} ir negatīva.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kur vērtība x+\frac{1}{2} ir pozitīva, bet vērtība x-1 ir negatīva.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$