Atrisiniet 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Atrast x

$$x=3$$

$$x=9$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx+27. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -12.

$$a=-9 b=-3$$

Pārrakstiet x^{2}-12x+27 kā \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Sadaliet x pirmo un -3 otrajā grupā.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-9 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-9=0 un x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar -24 un c ar 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Kāpiniet -24 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 576 pie -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Skaitļa -24 pretstats ir 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{24±12}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 24 pie 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Daliet 36 ar 4.

$$x=9$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{24±12}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 12 no 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Daliet 12 ar 4.

$$x=3$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=9 x=3$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Atņemiet 54 no vienādojuma abām pusēm.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Atņemot 54 no sevis, paliek 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Daliet -24 ar 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Daliet -54 ar 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Daliet locekļa x koeficientu -12 ar 2, lai iegūtu -6. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -6 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Kāpiniet -6 kvadrātā.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Pieskaitiet -27 pie 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-12x+36. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vienkāršojiet.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Pieskaitiet 6 abās vienādojuma pusēs.

$$x=9 x=3$$