Atrisiniet 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Atrast x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 2x^{2}+ax+bx-4. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība, nekā tas ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -8.

$$-1,8 -2,4$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 7.

$$a=-1 b=8$$

Pārrakstiet 2x^{2}+7x-4 kā \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju x pirmajā grupā, bet 4 otrajā grupā.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli 2x-1, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-1=0 un x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar 7 un c ar -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Kāpiniet 7 kvadrātā.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 49 pie 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±9}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -7 pie 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±9}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 9 no -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Daliet -16 ar 4.

$$x=-4$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Pieskaitiet 4 abās vienādojuma pusēs.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Atņemot -4 no sevis, paliek 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Atņemiet -4 no 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Daliet 4 ar 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{7}{2} ar 2, lai iegūtu \frac{7}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Pieskaitiet 2 pie \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Atņemiet \frac{7}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$