Atrisiniet 2x^2+5x+1<0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

Atrast x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 2, b ar 5 un c ar 1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

Lai reizinājums būtu negatīvs, vērtībām x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} un x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} ir jābūt ar pretējām zīmēm. Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} ir pozitīva, bet vērtība x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} ir negatīva.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} ir pozitīva, bet vērtība x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} ir negatīva.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$