Atrisiniet 2x^2+15x=8x-5

$$2 x ^ { 2 } + 15 x = 8 x - 5$$

Atrast x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 8x no abām pusēm.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Savelciet 15x un -8x, lai iegūtu 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Pievienot 5 abās pusēs.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 2x^{2}+ax+bx+5. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvi. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 10.

$$1,10 2,5$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+10=11 2+5=7$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 7.

$$a=2 b=5$$

Pārrakstiet 2x^{2}+7x+5 kā \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 2x pirmajā grupā, bet 5 otrajā grupā.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x+1, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x+1=0 un 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 8x no abām pusēm.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Savelciet 15x un -8x, lai iegūtu 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Pievienot 5 abās pusēs.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar 7 un c ar 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kāpiniet 7 kvadrātā.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 49 pie -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±3}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -7 pie 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Daliet -4 ar 4.

$$x=-1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±3}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 3 no -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-10}{4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 8x no abām pusēm.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Savelciet 15x un -8x, lai iegūtu 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{7}{2} ar 2, lai iegūtu \frac{7}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Pieskaitiet -\frac{5}{2} pie \frac{49}{16}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Atņemiet \frac{7}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$