Atrisiniet 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Atrast x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$2x+y=1$$

Atņemiet y no vienādojuma abām pusēm.

$$2x=-y+1$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Reiziniet \frac{1}{2} reiz -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ar \frac{-y+1}{2} aizvietojiet x otrā vienādojumā x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Pieskaitiet -\frac{y}{2} pie -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Atņemiet \frac{1}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar -\frac{3}{2}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=3$$

Aizvietojiet y ar 3 vienādojumā x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Reiziniet -\frac{1}{2} reiz 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} pie -\frac{3}{2}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=-1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-1,y=3$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=-1,y=3$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Lai vienādotu 2x un x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Vienkāršojiet.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Atņemiet 2x-2y=-8 no 2x+y=1 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Pieskaitiet 2x pie -2x. Locekļus 2x un -2x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$y+2y=1+8$$

Pieskaitiet y pie 2y.

$$3y=1+8$$

Pieskaitiet 1 pie 8.

$$3y=9$$

Daliet abas puses ar 3.

$$y=3$$

Aizvietojiet y ar 3 vienādojumā x-y=-4. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x-3=-4$$

Pieskaitiet 3 abās vienādojuma pusēs.

$$x=-1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-1,y=3$$