Atrisiniet 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Atrast x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$2x+3y=6$$

Atņemiet 3y no vienādojuma abām pusēm.

$$2x=-3y+6$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Reiziniet \frac{1}{2} reiz -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Ar -\frac{3y}{2}+3 aizvietojiet x otrā vienādojumā 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Reiziniet 6 reiz -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Pieskaitiet -9y pie -5y.

$$-14y+18=4$$

Atņemiet 18 no vienādojuma abām pusēm.

$$-14y=-14$$

Daliet abas puses ar -14.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā x=-\frac{3}{2}y+3. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Pieskaitiet 3 pie -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Lai vienādotu 2x un 6x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 6, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Vienkāršojiet.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Atņemiet 12x-10y=8 no 12x+18y=36 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Pieskaitiet 12x pie -12x. Locekļus 12x un -12x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$18y+10y=36-8$$

Pieskaitiet 18y pie 10y.

$$28y=36-8$$

Pieskaitiet 36 pie -8.

$$28y=28$$

Daliet abas puses ar 28.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā 6x-5y=4. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$6x-5=4$$

Pieskaitiet 5 abās vienādojuma pusēs.

$$6x=9$$

Daliet abas puses ar 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$