Atrisiniet 2+y(1-3y)=y(y-3)

$$2 + y ( 1 - 3 y ) = y ( y - 3 )$$

Atrast y

$$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu y ar 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu y ar y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Atņemiet y^{2} no abām pusēm.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Savelciet -3y^{2} un -y^{2}, lai iegūtu -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Pievienot 3y abās pusēs.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Savelciet y un 3y, lai iegūtu 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-4y^{2}+4y+2=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -4, b ar 4 un c ar 2.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kāpiniet 4 kvadrātā.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 16 reiz 2.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\left(-4\right)}$$

Pieskaitiet 16 pie 32.

$$y=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\left(-4\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 48.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -4.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -4 pie 4\sqrt{3}.

$$y=\frac{4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Daliet -4+4\sqrt{3} ar -8.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4\sqrt{3} no -4.

$$y=\frac{-4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Daliet -4-4\sqrt{3} ar -8.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2} y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu y ar 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu y ar y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Atņemiet y^{2} no abām pusēm.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Savelciet -3y^{2} un -y^{2}, lai iegūtu -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Pievienot 3y abās pusēs.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Savelciet y un 3y, lai iegūtu 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Atņemiet 2 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$4y-4y^{2}=-2$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-4y^{2}+4y=-2$$

Daliet abas puses ar -4.

$$\frac{-4y^{2}+4y}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Dalīšana ar -4 atsauc reizināšanu ar -4.

$$y^{2}+\frac{4}{-4}y=-\frac{2}{-4}$$

Daliet 4 ar -4.

$$y^{2}-y=-\frac{2}{-4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-2}{-4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$y^{2}-y=\frac{1}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu -1 ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} pie \frac{1}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-y+\frac{1}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$