Atrisiniet 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Atrast x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 16x^{2}+ax+bx-9. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 10.

$$a=-8 b=18$$

Pārrakstiet 16x^{2}+10x-9 kā \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Sadaliet 8x pirmo un 9 otrajā grupā.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-1=0 un 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 16, b ar 10 un c ar -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Kāpiniet 10 kvadrātā.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Reiziniet -4 reiz 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Reiziniet -64 reiz -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Pieskaitiet 100 pie 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Reiziniet 2 reiz 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-10±26}{32}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -10 pie 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Vienādot daļskaitli \frac{16}{32} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-10±26}{32}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 26 no -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-36}{32} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Pieskaitiet 9 abās vienādojuma pusēs.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Atņemot -9 no sevis, paliek 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Atņemiet -9 no 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Daliet abas puses ar 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Dalīšana ar 16 atsauc reizināšanu ar 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{10}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{5}{8} ar 2, lai iegūtu \frac{5}{16}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{5}{16} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{5}{16}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Pieskaitiet \frac{9}{16} pie \frac{25}{256}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Atņemiet \frac{5}{16} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$